C++ Library of the Linear Conjugate Gradient Methods (LibLCG) 说明文档

张壹（yizhang-geo@zju.edu.cn）

浙江大学地球科学学院·地球物理研究所

此说明仅覆盖算法库的简单介绍及使用，更详细的内容请查看代码注释。如果还有问题，请发邮件联系我。同时也欢迎有兴趣的同学加入开发团队！

简介

liblcg 是一个高效的、可扩展的 C++ 线性共轭梯度算法库，在原生数据结构接口的基础上，同时提供基于Eigen3和CUDA的算法接口，可以方便的实现基于CPU或GPU并行的加速计算，其中基于Eigen3的算法包含了稠密与稀疏矩阵的实现，而基于CUDA的算法主要为稀疏矩阵的实现。liblcg 包含多种实数与复数域的共轭梯度算法与其他一些迭代求解方法。目前已有得方法包括共轭梯度法、预优的共轭梯度算法、共轭梯度平方算法、双稳共轭梯度算法、BB步共轭梯度投影法与SPG共轭梯度投影法；复数域的双共轭梯度法、共轭梯度平方法、预优的共轭梯度法与TFQMR法。共轭梯度法广泛应用于无约束与不等式约束的线性最优化问题，拥有优良的收敛与计算效率。

共轭梯度算法可用于求解如下形式的线性方程组：

Ax = B

其中，A 是一个 N 阶的方阵、x 为 N*1 大小的待求解的模型向量，B 为 N*1 大小的需拟合的目标向量。需要注意的是，不同种类的共轭梯度算法对A可能有不同的要求，比如必须是正定的，或者对称的。不同算法的具体要求可以查阅其他参考文献或者查看代码中的注释。

安装

算法库使用 CMake 工具进行汇编，可在不同操作平台生成相应的Makefile或工程文件。

编译选项

算法库目前可用的编译选项有：

• LibLCG_OPENMP：是否使用OpenMP进行加速，需要安装OpeMP。默认为ON。
• LibLCG_EIGEN：是否编译基于Eigen的算法与借口，需要安装Eigen。默认为ON。
• LibLCG_STD_COMPLEX：是否使用std::complex<double>作为复数的默认类型。默认为ON。
• LibLCG_CUDA：是否编译基于CUDA的算法与借口，需要安装CUDA。默认为ON。

用户可以使用cmake命令中的-D选项对编译选项进行设置，比如关闭LibLCG_Eigen：

cmake -DLibLCG_EIGEN=OFF

Linux 与 MacOS

liblcg的默认安装路径为 /usr/local。头文件与动态库分别安装于 include 与 lib 文件夹。具体的编译与安装步骤如下：

1. 下载安装CMake软件；
2. 下载安装GCC编译器（常见系统已内置）；
3. 在源文件路径内使用如下命令进行编译与安装：

mkdir build && cd build && cmake .. && make install

Windows

MinGW 和 GCC

Windows系统不包含GNU编译环境，用户需自行下载并配置。方法如下：

1. 下载MinGW安装文件，并选择gcc、pthreads与make相关软件包安装；
2. 下载安装CMake软件；
3. 添加CMake与MinGW可执行文件路径至Windows环境变量；
4. 在源文件路径内使用如下命令进行编译与安装：

mkdir build && cd build && cmake .. -G "MinGW Makefiles" && make install

默认的安装路径为C:/Program\ Files。头文件与动态库分别安装于 include 与 lib 文件夹。

注意：用户需要手动添加头文件与动态库地址到计算机的环境变量中。

Visual Studio

用户可使用CMake工具构建VS工程文件并编译使用动态库。方法如下：

1. 下载安装 Visual Studio 软件；
2. 下载安装CMake软件；
3. 在源文件路径内使用如下命令生成VS工程文件：

mkdir build && cd build && cmake .. -G "Visual Studio 16 2019"

注：如需生成其他版本的VS工程文件，请使用-G命令查看相应的识别码。

4. 使用 Visual Studio 打开.sln工程文件并编译动态库。

使用与编译

用户使用库函数时需在源文件中引入相应的头文件，如：

#include "lcg/lcg.h"

编译可执行文件时需链接lcg动态库。以g++为例：

g++ example.cpp -llcg -o example_out

快速开始

要使用liblcg求解线性方程组Ax=B，用户需要定义Ax乘积的计算函数（回调函数），该函数的功能为计算不同的x所对应的乘积Ax。以实数类型的共轭梯度算法为例，其回调函数的接口定义为：

typedef void (*lcg_axfunc_ptr)(void* instance, const lcg_float* x, lcg_float* prod_Ax, const int n_size);

其中，x为输入的向量，prod_Ax为返回的乘积向量，n为这两个向量的长度。注意此处参数列表中并不包含矩阵A，这意味这A必须为全局或者类变量。这样设计的主要原因是在某些复杂最优化问题的编程中，计算并存储A并不实际或者划算，此时一般采用的策略是存储相关变量且仅计算Ax的乘积，所以矩阵A并不总是存在。

用户在定义Ax计算函数后即可调用求解函数 lcg_solver() 对线性方程组进行求解。以无约束的求解函数为例，其声明如下：

int lcg_solver(lcg_axfunc_ptr Afp, lcg_progress_ptr Pfp, lcg_float* m, const lcg_float* B, const int n_size, 
	const lcg_para* param, void* instance, lcg_solver_enum solver_id = LCG_CGS);

其中：

1. lcg_axfunc_ptr Afp 为正演计算的回调函数；
2. lcg_progress_ptr Pfp 监控迭代过程的回调函数（非必须，无需监控时使用 nullptr 参数即可）；
3. lcg_float* m 初始解向量，迭代取得的解也保存与此数组；
4. const lcg_float* B Ax = B 中的 B 项；
5. const int n_size 解向量的大小；
6. const lcg_para* param 迭代使用的参数，此参数为 nullptr 即使用默认参数；
7. void* instance 传入的实例对象, 此函数在类中使用即为类的 this 指针, 在普通函数中使用时即为 nullptr；
8. int solver_id 求解函数使用的求解方法，具体的方法代号可查看对应的头文件；

一个简单的例子

#include "cmath"
#include "iostream"
#include "lcg/lcg.h"

#define M 100
#define N 80

// 返回两个数组元素之间的最大差值
lcg_float max_diff(const lcg_float *a, const lcg_float *b, int size)
{
	lcg_float max = -1;
	for (int i = 0; i < size; i++)
	{
		max = lcg_max(sqrt((a[i] - b[i])*(a[i] - b[i])), max);
	}
	return max;
}

// 普通二维数组做核矩阵
lcg_float **kernel;
// 中间结果数组
lcg_float *tmp_arr;

// 计算核矩阵乘向量的乘积 lcg_solver的回调函数
void CalAx(void* instance, const lcg_float* x, lcg_float* prod_Ax, const int n_s)
{
    // 注意核矩阵实际为 kernel^T * kernel，大小为N*N
	lcg_matvec(kernel, x, tmp_arr, M, n_s, MatNormal); // tmp_tar = kernel * x
	lcg_matvec(kernel, tmp_arr, prod_Ax, M, n_s, MatTranspose); // prod_Ax = kernel^T * tmp_tar
	return;
}

// 定义监控函数 lcg_solver的回调函数
// 这个函数显示当前的迭代次数与收敛值
int Prog(void* instance, const lcg_float* m, const lcg_float converge, const lcg_para* param, const int n_s, const int k)
{
	std::clog << "\rIteration-times: " << k << "\tconvergence: " << converge;
	return 0;
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    // 开辟数组空间
	kernel = lcg_malloc(M, N);
	tmp_arr = lcg_malloc(M);

    // 为核矩阵赋初值
	lcg_vecrnd(kernel, -1.0, 1.0, M, N);

	// 生成一组理论解
	lcg_float *fm = lcg_malloc(N);
	lcg_vecrnd(fm, 1.0, 2.0, N);

	// 计算共轭梯度B项
	lcg_float *B = lcg_malloc(N);
	lcg_matvec(kernel, fm, tmp_arr, M, N, MatNormal);
	lcg_matvec(kernel, tmp_arr, B, M, N, MatTranspose);

	// 设置共轭梯度参数
	lcg_para self_para = lcg_default_parameters();
	self_para.epsilon = 1e-5;
	self_para.abs_diff = 0;

	// 声明一组解
	lcg_float *m = lcg_malloc(N);
	lcg_vecset(m, 0.0, N);

	// 使用标准共轭梯度方法（LCG_CG）求解线性方程组
    // 将回调函数传递给solver
    // 由于回调函数为全局函数，因此instance变量的值为NULL
	int ret = lcg_solver(CalAx, Prog, m, B, N, &self_para, NULL, LCG_CG);
	std::clog << std::endl; lcg_error_str(ret);
	std::clog << "maximal difference: " << max_diff(fm, m, N) << std::endl << std::endl;

    // 销毁数组
	lcg_free(kernel, M);
	lcg_free(tmp_arr);
	lcg_free(fm);
	lcg_free(B);
	lcg_free(m);
	return 0;
}

完整的例子储存在sample文件夹内。

类模版

liblcg为不同类型的共轭梯度算法定义了通用的求解类模版，包含了类中函数的指针代理及通用的监控函数实现，用户可直接继承并使用。需要注意的是这些类模版中定义了纯虚的函数接口，用户需要全部实现。其中没用到的定义成空函数就行了。以实数的求解类模版为例，需要实现的接口函数包括：

void AxProduct(const lcg_float* a, lcg_float* b, const int num) = 0
void MxProduct(const lcg_float* a, lcg_float* b, const int num) = 0

其中AxProduct是Ax的计算函数，MxProduct是预优过程的计算函数，即M^-1x。